Buenos Airesista syntyisin oleva Julio Bocca aloitti tanssiopintonsa nelivuotiaana tanssija-tanssinopettajaäitinsä ohjauksessa. Vuonna 1973 hänet hyväksyttiin Buenos Airesin kansallisbaletin balettikouluun, jossa häntä opettivat muun muassa Luisa Lemos, Gloria Kazda, Jóse Parés ja Ninel Julttyeva. Vuonna 1981 Bocca kiinnitettiin Teatro Colónin Compañía de Ballet de Cámera -balettiryhmään. Hänet nimitettiin ensitanssijaksi Venezuelan Teatro Teresa Carreñoon vuonna 1982 ja seuraavana vuonna hän siirtyi Rio de Janeiron Teatro Municipaliin.
Boccan voittama ensimmäinen palkinto Moskovan kansainvälisessä balettikilpailussa vuonna 1985 aloitti hänen kansainvälisen uransa. Hän toimi American Ballet Theatren ensitanssijana vuosina 1986−2006, ja uransa aikana hän vieraili monissa merkittävissä balettiryhmissä esimerkiksi Lontoon kuninkaallisessa baletissa, Moskovan Bolšoi-baletissa, Tanskan, Englannin ja Meksikon kansallisbaleteissa sekä Milanin Alla Scalassa. Bocca esiintyi myös Suomen uuden Oopperatalon ensimmäisessä balettiensi-illassa, Joutsenlammen Siegfriedinä vuonna 1993. Perinteisten esiintymislavojen lisäksi Bocca on esiintynyt muun muassa jalkapallostadioneilla sekä useissa elokuvissa. Boccan vuonna 1988 perustama Ballet Argentino -tanssiryhmä oli ensimmäinen ulkomainen tanssiryhmä, joka pääsi esiintymään Pietarin Talvipalatsiin.
Vuonna 1998 Bocca perusti the Musical Theater Schoolin yhdessä koreografi-ohjaaja Ricky Pashkusin kanssa ja toimi koulun johtajana vuoteen 2012 saakka. Hän eläköityi esiintymislavoilta vuonna 2007, minkä jälkeen hän on työskennellyt opettajana sekä tuomarina muun muassa Benois de la Dansen, Youth American Grand Prix’n, Prix de Lausannen sekä Julio Bocca Competitionin balettikilpailuissa. Vuonna 2010 hänet nimitettiin Uruguayn kansallisbaletin taiteelliseksi johtajaksi. Tällä hetkellä Bocca työskentelee freelance-valmentajana.
Bocca on saanut lukuisia palkintoja ja nimityksiä, kuten New York Timesin Dancer of the Year -palkinnon (1987), Gino Tanni Arts Awardin (1990), Dance Magazine Awardin (1998), UNESCOn kunniasertifikaatin (2008), Córdoban yliopiston kunniatohtorin arvon (2008) sekä Uruguayn Delmira Augistini -mitalin (2015).